Att kringskära invariansen

Drömgeografiskt forskningsprogram



av Jonas Enander

Systematiserandet av den icke-euklidiska geometrin innebar systematiserandet av den axiomatiska metoden. Den framgång denna metod uppvisade berodde på dess åsidosättande av den vardagliga intuitionen tillförmån för en sträng rationalitet, där det enda som togs för givet var de härledningar som var möjliga ur de etablerade axiomen. Axiomens relativitet var förstås uppenbar: ett axiom är fundamentalt i den bemärkelsen att antagandet av dess motsats också leder till ett sammanhängande system. Antag att två parallella linjer aldrig möts. Den euklidiska geometrin. Antag att de kan mötas. En oändlig mängd av möjliga geometrier.
Låt oss inför dessa mängder föreställa oss invånare som bebor två världar samtidigt. Deras tänkande präglas av deras erfarenheter, de diskuterar dessa erfarenheter i alla sina detaljer men skyr generaliseringar. Varför skulle de generalisera? Vissa erfarenheter tycks dock vara gällande i båda världarna, andra endast möjliga att dra i den ena eller andra världen. Genom att så jämföra dessa erfarenheter, undersöka vad som är variant och vad som är invariant i deras register kan dessa invånare börja bygga upp ett antal slutsatser, visa på hur dessa slutsatser tycks vara härledda ur mer fundamentala slutsatser, tills de slutligen kan formulera en samling axiom. Dessa axiom skulle gälla för de båda världarna, med undantaget att ett antal av dessa axiom skulle utgöra motsatsen i den ena världen till den andra världens motsvarande antal axiom.
Låt oss föreställa oss detta som ett möjligt forskningsprogram där geometrin blir en geografi och de två världarna blir det vakna och det drömmande tillståndet.
Med geografi menas i detta sammanhang konstruktionen av en rumslig förnimmelse i vid bemärkelse. Frågan om rummets ontologiska status åsidosätts. Erfarenhetsmässigt tycks vakengeografin och drömgeografin skilja sig åt på vissa väsentliga punkter, men uppvisa vissa minst lika viktiga likheter. Å andra sidan kan även vakengeografin och drömgeografin vara exempel på en mer begränsad form av en generaliserad geografi (som skulle kunna uppvisa mer invecklade subjektsformer i relation till de rumsliga formerna).
Avsaknaden av ett axiomatiskt system innebär att vissa erfarenheter och resultat går förlorade för att de anses omöjliga. Genom att härleda allting ur en samling axiom, snarare än att utgå från vissa fördomar, visar man på vad som faktiskt är möjligt. Ingen trodde att det gick att konstruera en funktion som var ingenstans deriverbar men överallt kontinuerlig, innan man via den rigorösa axiomatiseringen kom fram till att det faktiskt var möjligt. På motsvarande sätt skulle en rigorös axiomatisering av den vakna och drömmande geografin visa hur vissa situationer, platser och förlopp som man hållit för omöjliga eller inte alls tänkt på är fullt möjliga, förutsatt att vissa speciella omständigheter och uppgörelser med godtyckliga gränsdragningar verkställs. Och tvärtom. Att en cirkel har en insida och en utsida kräver ett omfattande matematiskt bevis. Vardagliga rumsliga förnimmelser, som att det är lika långt mellan punkt A till punkt B som mellan punkt B till punkt A, kanske kräver omfattande bevisföring. Att visa att det vi gör faktiskt är möjligt? Men det räcker med ett motexempel för att bevisa motsatsen…
Låt oss exemplifiera hur en möjlig axiomatisering kan se ut, om än i ofullständig form. Axiomen med asterix markerar de till drömmen tillhörande.

Axiom 1. En plats är alltid unikt bestämd.
Axiom 1*. En plats kan vara flera platser samtidigt.
Det första exemplet utspelar sig i vakenlivet. En plats är alltid en enskild plats. I drömtillståndet kan en plats vara flera (man går runt i Stockholm men vet att det är Jönköping), dvs vi har ett motsatt axiom. Men båda ger upphov till konsistenta geografier.
Axiom 2. Förflyttning mellan platser sker alltid kontinuerligt.
Axiom 2*. Förflyttning mellan platser sker kontinuerligt eller diskret.
Axiom 2 tycks ligga till grund för den vardagliga erfarenheten att förflyttning alltid sker utan plötsliga hopp. Man rör sig aldrig t.ex. i språng av två meter, utan alltid i språng som är så små att de inte tycks vara möjliga att identifiera. Axiom 2* utgör motsatsen och den mycket vanliga erfarenheten att via ett plötsligt hopp kunna röra sig från en plats till en annan.
Låt oss nu bilda ett axiom som är sann i båda systemen:
Axiom 3. Det existerar en rumslig förnimmelse.
Självklart finns det en vaghet i begreppet ”förnimmelse” (och ”rumslig”, ”existerar”, ”det”, ”en” etc). Men låt oss se vad vi kan härleda utifrån dessa axiom. Vi börjar med systemet för vakenhet, vakengeografin:
Sats 1. Mellan två platser går det alltid att hitta andra platser så att de bildar en sammanhängande sträcka.
Bevis. Enligt Axiom 1 är en plats unikt bestämd och enligt Axiom 2 är förflyttning mellan platser kontinuerlig. Förflyttning mellan två distinkta platser måste då ske mellan en serie mellanliggande platser som den kontinuerliga rörelsen kan ske i eftersom det enligt Axiom 3 alltid finns en rumslig förnimmelse. Alltså bildas det en sammanhängande sträcka.
Låt oss nu granska vad vi kan härleda inom drömgeografin:
Sats 1*. Mellan två platser går det inte alltid att hitta andra platser så att de bildar en sammanhängande sträcka.
Bevis. Enligt Axiom 2* kan förflyttning mellan platser ske diskret och enligt Axiom 3 existerar det alltid en rumslig förnimmelse. Alltså sker förflyttning mellan två separerade platser utan en serie mellanled utan rumslig förnimmelse. Satsen följer direkt.
Sats 2*. Den rumsliga förnimmelsen exkluderar ej närvaro på flera platser samtidigt.
Bevis. Beviset ses enkelt genom att kombinera Axiom 1 och 3.
Sats 3*. Det går att förflytta sig från en mångfald av platser till endast en plats och vice versa.
Bevis. Återigen ses beviset enkelt genom att kombinera Axiom 1 och 2.
Sats 1* skulle förklara fenomen i drömmen såsom att gå ut från ens lägenhet direkt till en främmande stad. Sats 1 skulle förklara fenomen i vakenlivet såsom att röra sig från ens bostad till arbetsplats via en serie mellanled såsom tunnelbana, promenadväg etc.
Detta är alltså ett exempel på hur man genom det axiomatiska systemet kan härleda villkoren för de respektive geografierna. Detta kräver ett omfattande empiriskt material: Vad som antas vara ett axiom kan visa sig vara en sats möjlig att härleda ur mer fundamentala axiom. Eller så kan även negationen av ett axiom visa sig gälla, vilket gör att ett nytt axiom måste formuleras så att det tidigare axiomet och dess negation inte kan betraktas som motsatser. (Observera att denna typ av axiomatik skiljer sig från den matematiska. Om man i ett matematiskt system kan härleda negationen av ett axiom säger man att systemet är inkonsistent, och axiomet måste plockas bort. Men om man i vakengeografin upptäcker att man kan vara på flera platser samtidigt (negationen av att endast vara på en plats) så innebär ett nyformulerat axiom att detta inte längre innebär en motsägelse.). Exempelvis drömde en kamrat att hon var ett objekt samtidigt som hon observerade sig själv utifrån. Vilken roll spelar denna erfarenhet för axiombildningen?
Just genom att undersöka vad som är invariant i de båda tillstånden erbjuds en möjlig utgångspunkt. Kring invarianta fenomen kan man sedan se hur varianser uppstår, hur de är relaterade till andra invarianta fenomen, vad varianserna består av och hur kombinationer av olika varianser kan förklara påtagliga och vanliga erfarenheter. Man får ett nätverk där noderna består av invarianta fenomen som förbinds längs olika axlar av de varianta fenomenen. Genom att rotera noderna kan man omgestalta en plats mellan dröm- och vakengeografin. Vår orienteringsförmåga skärps.
Vad är då syftet med att genomdriva denna forskning? Vi vill förstås att axiomen blickar tillbaka på oss för att fråga vilka möjliga subjekt som kan ha formulerat dem. Genom att systematisera betingelserna för en erfarenhet blir det möjligt att gå bortom erfarenheten, att generalisera den och därigenom göra den mer konkret. Precis som den generaliserade geometrin ledde till utökad rörelse i en fyrdimensionell krökt rumtid så kan en generaliserad geografi leda till en utökad rörelse i … vad? Man kommer besöka platser man inte ens kan drömma om.
Avslutningsvis vill vi även påkalla Gödels slutsatser. I ett visst stadium av forskningen kommer vi att stöta på en sats, en utsaga om de geografiska betingelserna, som varken går att bevisa eller motbevisa om vi utgår från att vårt system är sammanhängande. Denna negativa rest som alltid kommer att hemsöka vår rumsliga förnimmelse kanske går att fastställa på empirisk väg genom en serie ytterst delikata spatiala experiment. Men hur vet vi att det geografiska systemet är konstant över tiden? Att det inte skiftar via våra passager? Den temporala dimensionen underminerar kanske våra ansatser, men så mycket bättre eftersom vi då får utöka vårt forskningsprogram.