Matematiker avslöjade koden till islamska mönster
Islamska arkitekter utnyttjade redan på fjortonhundratalet avancerade matematiska principer - som västerländska matematiker förstod först på nittonhundratalet.


Över hela den islamska världen finns fantastiska geometriska mönster på byggnader och föremål. Ett skäl till att islamska konstnärer la ner så mycket arbete på geometriska utsmyckningar är att islam förbjuder avbildningar av levande varelser. De rikt utsmyckade dekorerna kallas girih-mönster. Hittills har västerländska forskare trott att girih-mönstren skapats med passare och linjal. Så har nämligen arkitekter i väst gjort när de konstruerat regelbundna mönster, ända från flera hundra år före Kristus till idag. Men de islamska mönstren är mycket mer komplicerade. Bland annat innehåller de vinklar som är svårare att konstruera än vinklarna i västerländska mönster. Det skulle vara nästan omöjligt att rita stora girih-mönster tillräckligt noggrant med passare och linjal. Små fel skulle fortplanta sig och förstöra mönstret när några hundra streck och vinklar ritats in. Och de islamska mönstren är nästan felfria. Men nu vet vi hur de islamska arkitekterna gjorde. Tekniken har återupptäckts av de två amerikanska forskarna Peter Lu och Paul Steinhardt. De presenterar sina resultat i en artikel som publicerades i den vetenskapliga tidskriften Science förra fredagen.- För två år sedan var jag på resa i Uzbekistan med min kusin. Han var fredskårist och jag hade blivit inbjuden att ge några föreläsningar. Plötsligt stod jag framför en vägg med ett mönster med tiouddiga stjärnor. När jag var doktorand hade jag jobbat med liknande mönster, säger Peter Lu från Harvard-universitetet i Boston. Peter Lu kunde inte glömma mönstret på väggen i Uzbekistan.- När jag kom hem till Harvard gick jag till universitetsbiblioteket. Där finns en av världens största samlingar av fotografier av islamsk arkitektur. Jag bläddrade länge bland mönstren och hittade så småningom ett som var höjdpunkten av vad den islamska konsten åstadkommit. Det blev ett nyckelmönster för den fortsatta forskningen, säger Lu.Lus nyckelmönster finns ovanför en dörr på Darb-i Imam-monumenetet i den Iranska staden Isfahan.Lu och Steinhardt har analyserat hundratals mönster från hela den islamska världen. De visar att islamska arkitekter omkring år 1200 upptäckte att det går att konstruera mycket komplicerade mönster med hjälp av bara fem mosaikbitar. Varje bit är dekorerad med ett linjemönster. Lu och Steinhardt kallar dem girih-bitar eftersom de används för att konstruera de abstrakta girih-mönstren. De fem girih-bitarna är en regelbunden tiosiding med den typiska islamska tiouddiga stjärnan på, en regelbunden femsiding, en sexsiding, en fyrsiding och en fluga (se grafik). Alla sidor på bitarna är lika långa. Mitt på varje sida startar två linjer i samma vinklar mot sidan som fortsätter inåt tills de möter en annan linje. Det är faktiskt inte särskilt svårt att konstruera de fem girih-bitarna med sina påritade linjer med passare och linjal. Sedan behöver de bara kopieras i så många exemplar som behövs. När girih-bitarna sätts ihop bildar de påritade linjerna de islamska girih-mönstren. Bitarnas kanter syns inte alls i de färdiga mönstren, de tog de islamska hantverkarna bort. Det är därför det varit så svårt för västerländska matematiker att upptäcka hur girih-mönstren konstruerats. Men det finns faktiskt arkitektritningar från 1400-talet som visar precis hur det går till. I de ritningarna syns både linjerna och girih-bitarnas kanter. Ritningarna förvaras nu i Topkapi-muséet i Istanbul. Girih-bitarna kan läggas kant mot kant så att de täcker planet på ett obegränsat antal sätt. Därför kan bitarna skapa ett oändligt antal girih-mönster. Så när de fem bitarna väl var kända kunde alla arkitekter och konsthantverkare kopiera och använda dem. Och därigenom konstruera egna fantastiska mönster.På fjortonhundratalet upptäckte de islamska arkitekterna att de kunde skapa ännu mer komplicerade mönster. De gjorde först ett mönster av stora girih-bitar och delade sedan upp varje bit i ett antal mindre girih-bitar. På så sätt skapade de överlappande mönster i olika skalor. Ett exempel på ett dubbelt mönster finns i en portal i Darb-i Imam-monumentet. Medeltida girih-mönster i två skalor är tidiga föregångare till fraktala mönster. Fraktala mönster upptäcktes av den fransk-amerikanske matematikern Benoît Mandelbrot på 1970-talet. I fraktala mönster upprepar sig samma struktur ett oändligt antal gånger i allt mindre skala. Ingen har hittat girih-mönster med mer än två nivåer. Men finns inget som hindrar att det mindre mönstret uppdelas igen och igen, för att skapa ett fraktalt girih-mönster med så många nivåer som önskas. Mönster kan vara symmetriska på olika sätt. Ett mönster är rotationssymmetriskt om det ser precis likadant ut om det roteras kring en viss punkt. Mönstret på ett schackbräde är till exempel fyrfaldigt symmetriskt, eftersom det blir samma mönster när det roteras ett kvarts varv. I antiken konstruerade greker och romare många tre-, fyr- och sexfaldigt symmetriska mönster. Men de lyckades inte konstruera fem- och tiofaldigt symmetriska mönster. Det lyckades däremot de islamska matematikerna med. Det är till och med så att de tydligen föredrog tiofaldigt symmetriska mönster, eftersom nästan alla islamska mönster är fem- eller tiofaldigt symmetriska. Grekiska matematiker utvecklade regler för geometriska mönster några hundra år före Kristus. Sedan hände nästan ingenting på detta område i Europa förrän på 1600-talet, då Johannes Kepler fortsatte grekernas arbete. Kepler var inte bara astronom. Han ägnade flera kapitel i sin bok Världarnas harmonier åt regelbundna mönster. Boken utkom 1619 och innehåller förutom texten några sidor med träsnitt olika geometriska mönster. Det framgår att Kepler verkligen letade efter mönster med femfaldig symmetri, men han hittade bara ett enda. Han hade uppenbarligen aldrig sett några islamska mönster. Kepler kallade sitt femfaldiga mönster laboriosissima et artificosissima (han skrev på latin), som betyder det mest arbetsamma och artificiella tänkbara. Och ändå är det enklare än många islamska mönster från 1400-talet, eftersom Kepler bara använder passare och linjal.Regelbundna mönster upprepar samma struktur med jämna mellanrum. Mönstret på en tapet kan vara litet och enkelt eller stort och komplext, men samma struktur kommer alltid igen gång på gång. En annan, mer spännande, sorts mönster är till synes välordnade, men de upprepar sig aldrig regelbundet. Mönstren innehåller både ordning och kaos. De kallas kvasikristallina, eftersom de är nästan lika regelbundna som kristaller, men bara nästan. Girih-bitarna kan skapa både regelbundna och kvasikristallina mönster. Och det finns ett antal exempel på kvasikristallina islamska mönster.Peter Lus doktorsavhandling handlade om kvasikristallina mönster och Paul Steinhardt var hans handledare. Därför hade Lu en unikt lämplig bakgrund när han hittade mönstret i Uzbekistan. - Jag såg att mönstret på väggen inte var kvasikristallint, men att det hade möjligheter att bli det. Det nyckelmönster jag hittade i biblioteket var dels kvasikristallint, dels i två skalor. Så när jag hittat det mönstret kontaktade jag Paul Steinhardt, säger Lu.Västerländska matematiker upptäckte de kvasikristallina mönstren först på 1960-talet. Utan att känna till girih-bitarna konstruerade den brittiske matematikern Roger Penrose i mitten av 1970-talet egna mosaikbitar med samma egenskaper. Penroses mest berömda mönster består av bara två bitar, en fet och en smal fyrhörning, som kallas draken och pilen. Bitarna har påritade cirkelbågar i rött och blått. Om en röd båge alltid ska möta en röd båge och en blå båge en blå blir alla mönster som konstrueras med Penroses fyrhörningar kvasikristallina. Det går faktiskt inte att göra regelbundna mönster med dem. Och alla dessa oändligt många möjliga kvasikristallina mönster blir femfaldigt symmetriska. Hittills har matematikerna trott att Penrose var den förste att skapa kvasikristallina mönster med enkla bitar. Nu vet vi att islamska arkitekter gjorde detta redan på 1400-talet, 500 år tidigare.Alla girih-bitar kan uppdelas i ett antal Penrose-bitar. Det behövs till exempel fyrtio Penrose-bitar för att täcka den tiosidiga girih-biten. Mycket matematik har utvecklats runt Penrose-mönstren sedan de upptäcktes. I och med att girih-mönstren enkelt kan förvandlas till Penrose-mönster kan all den matematiken nu användas för att förstå de islamska mönstren. Lu och Steinhardt har använt Penrose-bitarna för att analysera sitt nyckelmönster, den kvasikristallina girih-mosaiken från Isfahan. Den sönderfaller i 3700 Penrose-bitar och när de studerade det röd-blåa bågmönstret på Penrose-bitarna blev det uppenbart att mönstret innehåller elva fel. Felen kan ha funnits från början, men de kan ha uppstått när mosaiken reparerats av någon som inte förstod hur mönstret konstruerats. Penrose tog inte patent på sina bitar, men blev upprörd när han hittade sitt mönster på en toalettpappersrulle som hans hustru köpt. Han hotade att stämma bolaget som tillverkat toalettpappret. Bolaget hävdade att mönster som inte upprepar sig gör att papperslagren i rullen håller ihop bättre. Senare gjorde Penrose och toalettpapperstillverkarna upp i godo och Penrose blev konsult åt bolaget.Geometriska mönster har alltid fascinerat människan. Och det finns mycket kvar att upptäcka, både matematiskt och estetiskt. Till exempel är problemet att beskriva alla femsidiga bitar som ensamma täcker planet fortfarande olöst. En regelbunden femhörning kan inte täcka planet, men många andra bitar med fem sidor kan det. En sådan oregelbunden femhörning används till exempel ofta som gatsten i Egypten. Den kaliforniska hemmafrun Marjorie Rice har gjort stora insatser på just detta område, trots att hon bara har grundskolestudier i matematik i sin utbildning. Ett av hennes mönster pryder nu ett golv i det amerikanska matematikersamfundets hus i Washington, USA.Det finns oändligt många sätt att täcka en yta med geometriska bitar av olika former. Genom att rita mönster på bitarna blir möjligheterna ännu större. Nu när principen bakom girih-mönstren återupptäckts får vi kanske se en explosion av nya mönster som konstruerats med liknande teknik. Men Peter Lu hoppas att hans upptäckt inte bara ska vara starten på ny vetenskaplig forskning..- Vi vet inte hur mycket av matematiken bakom mönstren de islamska arkitekterna kände till. Men mönstren är inte skapade av tillfälligheter. De krävde mycket tankearbete. Jag hoppas att ett resultat av vårt arbete är att västerländska människor kommer att se på den islamska världen med vänligare ögon. I hundratals år låg de långt före oss inom matematik och vetenskap, det borde vi ta hänsyn till, avslutar han.

Gunilla Borgefors

Gunilla Borgefors är praktikant på DN:s vetenskapsredaktion. Till vardags är hon professor i datoriserad bildanalys vid Sveriges Lantbruksuniversitet och gästprofessor vid Uppsala universitet. För några år sedan sydde hon ett lapptäcke, som bygger på islamska girih-mönster.